Annisa Rahmadhani " F . R . I . E . N . D . S ": November 2014

TEORI KEMUNGKINAN (PROBABILITAS)

Teori probabilitas atau peluang merupakan teori dasar dalam pengambilan keputusan yang memiliki sifat ketidakpastian.

Ada 3 pendekatan :

· Pendekatan klasik

· Pendekatan empiris

· Pendekatan subyektif

PENDEKATAN KLASIK

Apabila suatu peristiwa (Event) E dapat terjadi sebanyak h dari sejumlah n kejadian yang mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi maka probabilitas peristiwa E ata P(E) dapat dirumuskan :

P(E) = h n

misalnya:Bila sekeping koin dilempar sekali, maka secara logika dikatakan bahwa masing-masing sisi mempunyai peluang yang sama , yaitu 0,5 karena koin hanya terdiri atas dua sisi masing-masing, dan masing-masing sisi mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul atau dicatat. P(A) = P(B) = 0,5

PENDEKATAN EMPIRIS

Perumusan perhitungan berdasarkan pendekatan empiris adalah atas dasar pengertian frekuensi relatif. Pendekatan ini dilakukan karena pendekatan perhitungan klasik dipandang memiliki beberapa kelemahan. Dalam kenyataan , syarat yang ditetapkan jarang dapat dipenuhi.

Suatu peristiwa E mempunyai h kejadian dari serangkaian n kejadian dalam suatu percobaan, maka peluang E merupakan frekuensi relatif h/n , dinyatakan sebagai :

P (E) = lim h n

untuk n mendekati nilai tak terhingga.

PENDEKATAN SUBYEKTIF

Pada pendekatan subyektif, beberapa orang dapat saja memiliki keyakinan yang berbeda terhadap terjadinya suatu peristiwa, meskipun informasi yang diterima berkaitan dengan peristiwa tersebut adalah sama. Hal tersebut disebabkan karena setiap orang berpikir dam mempunyai keyakinan yang berbeda terhadap suatu masalah yang sama.

Dari pengertian-pengertian tersebut, dapat disusun suatu pengertian umum mengenai probabilitas, yaitu sebagai berikut :

Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak)

Oleh karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai maka probabilitas memiliki batas-batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1 0 ≤ P (E) ≤ 1

Artinya :

Jika P= 0 disebut probabilitas kemustahilan artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi

Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian , artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi

Jika 0< P< 1, disebut probabilitas kemungkinan , artinya kejadian atas peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.

Jika kemungkinan terjadinya peristiwa E disebut P (E) maka besarnya probabilitas bahwa peristiwa E tidak terjadi adalah :

P (E) = 1 – P (E)

PROBABILITAS BEBERAPA PERISTIWA

Peristiwa saling lepas (mutually exclusive)

Dua peritiwa merupakan peristiwa yang Mutually Eclusive jika terjadinya peristiwa yang satu menyebabkan tidak terjadinya peristiwa yang lain. Peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan, peristiwa saling asing.

Jika peristiwa A danb B saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

P ( A U B) = P (A) + P (B)

Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peristiwa-peristiwanya adalah :

A = peristiwa mata dadu 2 muncul

B = mata dadu lebih dari 4 muncul

Tentukan probabilitasnya dari kejadian P (A U B) :

P (A) = 1	dan P (B) = 2
6		6
P ( A U B ) = 1 + 2 = 3
	6	6	6

Peristiwa Non Ecxclusive ( tidak saling lepas)

Dua peristiwa dikatakan non exclusive , bila dua peristiwa tidak saling lepas atau kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi bersamaan

Dirumuskan sbb :

P (AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Contoh :

Setumpuk kartu bridge yang akan diambil salah satu kartu. Berapa probabilitasnya adalam sekali pengambilan tersebut akan diperoleh kartu Ace atau kartu Diamont ?

Dimisalkan : A = kartu Ace

D = kartu Diamont

Maka P(AUD) = P(A) + P(D) – P(A∩D)

= 4	+ 13	- 1
52	52	52

= 16

Jika terdapat 3 peristiwa dirumuskan sebagai berikut :

P (AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B)- P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Peristiwa Independent (Bebas)

Peristiwa terjadi atau tidak terjadi tidak mempengaruhi dan tidak dipengaruhi peristiwa lainnya.

Apabila A dab B dua peristiwa yang Independent, maka probabilitas bahwa keduanya akan terjadi bersama-sama dirumuskan sebagai berikut :

P (A∩B) = P(A) x P(B)

Contoh :

Dari 100 barang yang diperiksa terdapat 30 barang rusak. Berapa probabilitasnya dalam :

tiga kali pengambilan terdapat rusak 1
empat kali pengambilan terdapat bagus 1

jawab :

dimisalkan A = bagus B = rusak

Maka P(A) = 0,70 P(B) = 0,30

a. K³ = 3

= P(A ∩A∩B) U P(A ∩B∩A) P(B ∩A∩A)

= 0,70 x 0,70 x 0,30 atau 0,70 x 0,30 x 0,70 atau 0,30 x 0,70 x 0,70

= 0,147 + 0,147 + 0,147 = 0,441

Peristiwa dependent ( Bersyarat)

Terjadi jika peristiwa yang satu mempengaruhi/merupakan syarat terjadinya peristiwa yang lain.

Probabilitas bahwa B akan terjadi bila diketahui bahwa A telah terjadi ditulis sbb :

P( B/A)

Dengan demikian probabilitas bahwa A dan B akan terjadi dirumuskan sbb :

P(A∩B) = P(A) x P(B/A)

Sedang probabilitas A akan terjadi jika diketahui bahwa B telah terjadi ditulid sbb :

P (A/B)

Maka probabilitas B dan A akan terjadi dirumuskan sbb :

P (A∩B) = P(B) x P(A/B)

Contoh :

Dua buah tas berisi sejumlah bola. Tas peertama berisi 4 bola putih dan 2 bola hitam. Tas kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Jika sebuah bola diambil dari masing-masing tas tersebut, hitunglah probabilitasnya bahwa :

Keduanya bola putih
Keduanya bola hitam

c. Satu bola putih dan satu bola hitam

Jawab

Misalnya A₁ menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih dari tas pertama dan A₂ menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih di tas kedua, maka :

P(A₁ ∩A₂) = P(A₁) x P(A₂/A₁) = 4/6 X 3/8 = 1/4

Misalnya A1 menunjukkan peristiwa tidak terambilnya bola putih dari tas pertama (berarti terambilnya bola hitam) dan A2 menunjukkan peristiwa tidak terambilny7a bola putih dari tas kedua (berarti terambilnya bola hitam) maka :

P(A₁∩A₂) = P(A₁) x P(A₂/A₁) = 2/6 x 5/8 = 10/48 = 5/24

Probabilitas yang dimaksud adalah :

P(A₁∩B2) U P(B1∩A2)

Harapan Matematis

Jika P1, P2…..Pk merupakan probabilitas terjadinya peristiwa maka E1, E2 …….Ek dan andaikan V1, V2…….Vk adalah nilai yang diperoleh jika masing-masing peristiwa diatas terjadi, maka harapan matematis untuk memperoleh sejumlah nilai adalah :

E(V) = P1 V1 + P2V2 + ………Pk Vk

Contoh :

Dalam suatu permainan berhadiah, pihak penyelenggara akan membayar Rp. 180.000,-apabila pemain mendapat kartu Ace, dan akan membayar Rp. 100.000,- apabila mendapoatkan kartu King dari setumpuk kartu bridge yang berisi 52 kartu. Bila tidak mendapatkan kartu ace dan kartu King pemain harus membayar Rp. 45.000,- . berapa harapan matematis pemain tersebut ?

Jawab

E (V) = Rp. 180.000 ( 4/52) + 100.000 (4/52) – 45.000 (44/52) = Rp. 16.538,46 = Rp. 16.500,-

DISTRIBUSI TEORITIS

• Variabel Acak

• Distribusi Teoritis

• Binomial

• Normal

Variabel acak adalah sebuah besaran yang merupakan hasil dari percobaan acak yang secara untung-untungan, dapat mempuyai nilai yang berbeda-beda.

Variabel Random adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang didefinisikan dalam suatu ruang sampel.

Definisi : Misalkan E suatu experimen acak dan S ruang sampelnya. Suatu fungsi X (ditulis dengan huruf besar) yang memberikan pada setiap elemen s dari S suatu bilangan riil, disebut suatu variabel acak.

Conntoh 1 :

Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A) dilemparkan sebanyak tiga kali berturut-turut. Hasil-hasil yang mungkin terjadi adalah :

GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA

Misalkan X adalah jumlah sisi gambar yang muncul.

Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3

X = 0, berarti tidak ada sisi G yang muncul.

X = 1, berarti sisi G muncul satu kali.

X = 2, berarti sisi G muncul dua kali.

X = 3, berarti sisi G muncul tiga kali.

X disebut variabel acak (random)

Distribusi Probabilitas Teoritis

Dari contoh 1 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut :

X	P(X)

0	1/8 = 0,125

1	3/8 = 0,375

2	3/8 = 0,375

3	1/8 = 0,125

Jumlah	1,00

0.4
0.35
0.3
0.25
0.2	P(X)
	P(X)
0.15
0.1
0.05
0
X=0 X=1	X=2 X=3

Conntoh 2 :

Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A) dilemparkan sebanyak 4 kali berturut-turut. Hasil-hasil yang mungkin terjadi adalah :

Misalkan X adalah jumlah sisi gambar (G) yang muncul.

Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3, 4

X=0	X=1	X=2	X=3	X=4

AAAA	GAAA	GGAA	GGGA	GGGG

	AGAA	AGGA	GGAG

	AAGA	AAGG	GAGG

	AAAG	GAGA	AGGG

		GAAG

		AGAG

1	4	6	4	1

Dari contoh 2 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut :

X	P(X)

0	1/16 = 0,0625

1	4/16 = 0,2500

2	6/16 = 0,3750

3	4/16 = 0,2500

4	1/16 = 0,0625

Jumlah	1,00

0.4
0.35
0.3
0.25
0.2		P(X)
		P(X)
0.15
0.1
0.05
0
X=0	X=2	X=4

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-ekor dll.

Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sbb :

1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-gagal.

2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.

3. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.

4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

Rumus Distribusi Binomial

a). Rumus binomial suatu peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan. Berdasarkan hal tersebut, secara umum rumus dari probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan :

P(X = x) = C_xⁿ.p^x.q^n−x

Dimana :

C_xⁿ =	n!
		danq = 1 – p

	x!(n − x)!

b). Probabilitas binomial kumulatif

Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.

Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

PBK = _∑ C_xⁿ.p^x.q^n−x

x=0

= _∑P(X = x)

x=0

=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+....+P(X=n)

Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut :

a). Mata dadu 5 muncul 1 kali

b). Mata dadu genap muncul 2 kali

c). Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali.

Penyelesaian :

a). Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memiliki probabilitas 1/6. Jadi, probabilitas untuk mata 1 adalah 1/6, sehigga :

p=1/6; q=5/6; n=4; x=1 (muncul 1 kali )

P(X=1) = C₁⁴.p¹.q³

= 4(1/6)¹(5/6)³

= 0,386

b). Mata dadu genap ada 3, yaitu 2,4, dan 6, sehingga :

p = 3/6 = 1/2; q = 1/2; n = 4; x = 2 P(X=2) = C₂⁴.p².q²

= 6(1/2)²(1/2)²

= 0,375

c). Muncul mata dadu 2 atau 6 sebanyak 4 kali, sehngga : p = 2/6; q = 2/3; n = 4; x = 4

P(X=4) = C₄⁴.p⁴.q⁰

= 1(2/6)⁴(2/3)⁰

= 0,0123

Contoh 2 :

Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas :

a). Paling banyak 2 orang lulus.

b). Yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang.

c). Paling sedikit 4 diantaranya lulus.

Penyelesaian :

a). n = 5 ; p = 0,7; q = 0,3; x = 0, 1 dan 2 P(X ≤ 2)= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

= 1(0,7)⁰(0,3)⁵ + 5(0,7)¹(0,3)⁴ + 10(0,7)²(0,3)³

= 0,16

b). n = 5 ; p = 0,7; q = 0,3; x = 2 dan 3

P(X=2 & 3)= P(X=2) + P(X=3)

= 10(0,7)²(0,3)³ + 10(0,7)³(0,3)²

= 0,44

c). n = 5 ; p = 0,7; q = 0,3; x = 4 dan 5 P(X ≥ 4)= P(X=4) + P(X=5)

= 5(0,7)⁴(0,3)¹ + 1(0,7)⁵(0,3)⁰

= 0,53

Distribusi Normal

Distribusi Normal adalah salah satu distribusi teoritis dari variabel random kontinu. Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss.

Distribusi Normal memiliki bentuk fungsi sebagai berikut :

	1			−	1 ( x− µ )²

f (x) =			e		2 σ



σ		2π
Keterangan :
X = nilai data				µ = rata-rata x
π = 3,14				e = 2,71828
σ = Simpangan baku

Karakteristik Distribusi Normal

Distribusi probabilitas normal dan kurva normal yang menyertainya memiliki beberapa karakteristik sebagai berikut :

1. Kurva normal berbentuk lonceng

2. Simetris

3. Asimtotis

DISTRIBUSI NORMAL

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL

1. Kurva berbentuk genta (µ= Md= Mo)

2. Kurva berbentuk simetris

3. Kurva normal berbentuk asimptotis

4. Kurva mencapai puncak pada saat X= µ

5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
	m
Mes okurtic	Platy kurtic	Leptokurtic

Distribusi kurva normal dengan µ sama dan σ berbeda

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

	Mangga “C”		Mangga “A”
	Mangga “B”
150		0		0
	0		5
	3		4

Distribusi kurva normal dengan µ berbeda dan σ sama

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

850

Distribusi kurva normal dengan µ dan σ berbeda

Grafik kurva normal :

0,5 0,5

P(x≤µ) = 0,5

P(x≥µ) = 0,5

Luas kurva normal :

Luas kurva normal antara x=a & x=b

= probabilitas x terletak antara a dan b

a µ b x

Distribusi Probabilitas Normal Baku (Standar)

Distribusi normal baku memiliki rata-rata hitung 0 dan nilai standar deviasi 1.

Nilai Z adalah jarak dari rata-rata hitung yang dihitung dalam satuan standar deviasi.

Dalam bentuk rumus :

Z =

Dengan :

X − µ

X adalah nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran tertentu.

µ Adalah rata-rata hitung dari distribusi.

σ Adalah standar deviasi dari distribusi.

TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z

Transformasi dari X ke Z

x z

Di mana nilai Z:

Z = X - µ

Contoh :

1. Diketahui data berdistribusi normal dengan

mean µ = 55 dan deviasi standar = 15 a) P(55≤x≤75) =

= P(0≤Z≤1,33)

= 0,4082 (Tabel III)

Atau

Tabel III A = 0,4082

P(60≤x≤80) =

= P(0,33≤Z≤1,67)

= P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33)

= 0,4525 – 0,1293 = 0,3232

Z1 =		0,33 B = 0,1293

Z2 =		1,67 A = 0,4525

C = A – B = 0,3232

c) P(40≤x≤60)= A + B

= P(-1,00≤Z≤0,33)

= P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33)

= 0,3412 + 0,1293

= 0,4705

Atau : Z1 =	1,00
A = 0,3412
Z2 =	0,33
B = 0,1293

d) P(x ≤ 40) = 0,5 – A

= 0,5 – 0,3412

= 0,1588

e. P(x ≥ 85)

f. P(x ≤ 85) = 0,5 + A

= 0,5 + 0,4772

= 0,9772

2) Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian bersidtribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?

Jawab: